ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ НА ЭТАПЕ РАСШИРЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ

09-01-2022

Теория управления сегодня - это наука, не только широко использующая математику, но и индуцирующая новые математические понятия, задачи и проблемы. Это наука одной идеи - идеи управления с помощью обратной связи, одной общей математической модели, одной, но всеобъемлющей цели: добиться от окружающего нас мира, точнее, отдельных его частей, именуемых объектами, желаемых нами поведения и свойств. В силу сказанного теорию управления можно назвать в некотором смысле наукой бедной и скучной, поскольку важность и значимость для современного общества - едва ли аргументы весомые.

Однако, продолжая рассуждать таким образом, можно и все естествознание свести к конкретным проявлениям одной общей математической модели, называемой динамической системой, а общую модель теории управления рассматривать как ее частный, специализированный случай. Так что допустима и другая точка зрения: теория управления - это естественная наука, достигшая высокой степени зрелости, ставшая логичной и стройной математической теорией, имеющей многообразные конкретные реализации и приложения.

Понимание всеобъемлющей роли управления пришло к нам недавно. Это сегодня мы знаем о провозглашенной Н. Винером новой науке - кибернетике, о том, что наша жизнь - неустанное управление клетками, физико-химическими процессами в них и между ними; что в управлении нуждаются машины, производство, сельское хозяйство, каждое отдельное транспортное средство и транспорт в целом, энергетика, строительство, экономика, финансы, общество...

Понятие "управление" - древнего происхождения, но наука об управлении возникла только в конце прошлого века. Она явилась на свет как теория автоматических регуляторов, необходимых для стабилизации скорости вращения паровых машин. Без регуляторов паровые машины, а затем и турбины работать не могли, но вскоре регуляторы проявили свой непокорный нрав - неустойчивость - и для его обуздания потребовалось глубокое проникновение в их работу.

Великий физик Дж. К. Максвелл и замечательный инженер И. А. Вышнеградский открыли тайны устойчивости регуляторов и индуцировали математическую проблему, названную позднее проблемой Рауса-Гурвица. Достаточно долго, вплоть до 40-х годов нашего века, устойчивость, условия которой указали Максвелл и Вышнеградский и обобщили механик Э. Раус и математик А. Гурвиц, оставалась основным требованием, которое предъявлялось к создаваемым регуляторам. Разве что стали различать устойчивость по ее степени, т.е. по быстроте возвращения к нормальному режиму после возмущения.

Сам нормальный режим характеризовался неравномерностью (изменением регулируемой величины, отнесенной к изменению нагрузки). Естественное стремление уменьшить неравномерность входило в противоречие с устойчивостью. Это было сформулировано в знаменитом тезисе Вышнеградского: "Без неравномерности нет регулятора". Максвелл, напротив, исходил из того, что регулятор не должен иметь неравномерности. Полученные им условия устойчивости не могли быть реализованы для регуляторов его времени [1]. Все же голубая мечта Максвелла об идеальном регуляторе осуществилась, хотя и спустя значительное время, с изобретением нового типа регуляторов, получивших название изодромных.

Изобретение изодрома расширило представление о возможностях регулятора и его стратегий управления. Примитивная стратегия управления, состоящая в том, что следует уменьшать подачу пара, если скорость вращения больше требуемой, и увеличивать, если меньше, заменилась более изощренной и совершенной. В конечном итоге это привело к становлению идеи оптимального (наилучшего) управления. Примерно с 60-х годов по настоящее время эта идея в теории управления играет ведущую роль: при построении регулятора формируют условия наилучшей его работы и стремятся по возможности в наибольшей мере реализовать их.

Именно так мы управляем движением руки, беря бокал с шампанским в новогоднюю ночь. Объект - это наша рука; глаза и тактильные ощущения дают информацию I о положении и движении руки с бокалом; нервная система и мышцы руки реализуют управляющие воздействия u, приводя руку в движение. Эта система много сложнее тех, с которых началась теория управления, и ее реализация в известной программе "глаз-рука" символизирует прогресс науки об управлении и достигнутые технические возможности. В приведенном примере стратегия управления, благодаря которой формируется управление u по результатам наблюдений (измерений), много сложнее изодромного регулятора скорости вращения, тоже казавшегося в свое время сложным. Она уже настолько сложна, что ее реализация стала возможной только благодаря успехам вычислительной техники.

Вернемся к общей математической модели системы управления, схематически представленной на рис.1. Оптимальная стратегия управления определяется критерием качества управления Q. Величина Q зависит не только от стратегии управления, но и от объекта О и действующих на него возмущений f. В силу этого величина Q, которую мы хотим оптимизировать, определяется математической моделью (математическим описанием) объекта О и воздействия f. В случае движения руки с бокалом шампанского оптимизация критерия Q должна быть такой, чтобы обеспечивать надежность действий: бокал не уронят, не раздавят, не разобьют, ударив о другие предметы, и, наклонив нужным образом, доставят, не проливая шампанское, по назначению - все это в требуемом темпе. В случае доставки с помощью ракеты человека с Земли на Луну условия качества управления еще многообразнее, а кроме того, над ними довлеет жесткая необходимость экономии горючего.

Отметим очевидное и важное обстоятельство: стратегия управления, обеспечивающая устойчивость и оптимальность, - своя для каждого объекта и воздействия. Изменился объект - изменилась и оптимальная стратегия управления. Иначе говоря, поскольку оптимальность регулятора - стратегии управления - достигается для определенного объекта, изменение объекта в процессе функционирования или переход к другому объекту ведут к потере оптимальности и, возможно, устойчивости.

Естественно желание преодолеть "узкую специализацию" стратегии управления. Такие попытки предпринимались давно - в виде подстройки параметров регулятора к изменениям объекта. Это привело к появлению теории адаптивного и теории робастного управления, которые сейчас интенсивно разрабатываются во всем мире и находятся в центре внимания на конференциях и симпозиумах по автоматическому управлению.

Теория адаптивного управления - это теория систем управления, которые благодаря самонастройке или обучению меняют свою стратегию, стремясь приблизить ее к оптимальной. Притом делают это асимптотически (спустя достаточное время) точно, если объект перестает меняться, и, следовательно, достаточно точно, если объект меняется медленно.

Теории робастной устойчивости всего 10-15 лет, она в периоде становления. Исходной ее проблемой было стремление к обеспечению устойчивости не только заданной системы управления, но и всех не очень отличных от нее, т.е. к универсализации стратегий управления по отношению к объектам.

Идея универсального регулятора, универсальной стратегии, способной управлять любым объектом и решать любые в принципе допустимые задачи, очень заманчива. Это как синяя птица Метерлинка. Когда-то, когда такой синей птицей был идеальный регулятор Максвелла, ее удалось поймать. Но универсального регулятора, скорее всего, не будет никогда - из-за необъятного числа многообразных объектов. Вместе с тем человек так много может, хоть и не хватает ему того внимания, точности, быстроты и мощности, которые доступны творениям его рук - вычислительным машинам, системам наблюдения и измерения и мощным и точным исполнительным устройствам. При разумных ограничениях на объекты универсальный регулятор все же возможен. Это не означает, что он заменит специализированные регуляторы, которые заведомо проще. Но из этого, в частности, следует, что мы сможем создать роботы, способные действовать в весьма разнообразных и сложных условиях, создать системы управления очень сложными технологическими процессами и объектами.

Такие роботы и системы управления очень нужны. В связи с этим можно сказать, что сегодня основная или, по крайней мере, одна из важнейших задач теории управления - это проблема универсализации его стратегии. Возможность реализовать эту идею зависит от прогресса технических средств управления.

Нужно ли полностью знать объект, чтобы оптимально им управлять?

Каковы теоретические препятствия, которые стоят на пути универсализации управления? Для общих, в том числе и нелинейных, объектов они огромны - уже потому, что еще не решена и более простая задача синтеза оптимальной стратегии для заданного объекта. Но для линейных систем управления решение проблемы универсализации назрело, хотя и тут есть свои трудности.

Линейная система управления отличается от нелинейной тем, что связь между воздействием на объект и его поведением, описываемым величиной I, определяется линейным оператором (преобразованием); линейным оператором определяется и управляющее воздействие u по информации I. Во многих случаях идеализированная линейная модель - достаточно хорошее приближение реальных нелинейных систем, в других случаях существенной нелинейности - линейное приближение неприемлемо. Вместе с тем сам оператор, определяющий стратегию управления, у линейных и нелинейных систем зависит от параметров объекта нелинейно. Так что даже в случае, когда управление заданным объектом представляет собой линейную задачу, адаптивное управление неопределенным объектом становится нелинейной задачей. Это поясняет общая схема адаптивного управления, изображенная на рис.2. На ней объект O управляется блоком U, стратегия управления которого, в свою очередь, корректируется с помощью сигналов N, вырабатываемых блоком настройки (адаптации) A по информации u и I. В этой схеме зависимость I от u и f и, соответственно, u от I - линейна, а N от u и I - нелинейна.

Рис.2

Формирование - адаптация, приспособление, обучение - требуемой оптимальной стратегии осуществляется либо в плане некоторого ее поиска, либо путем синтеза на основе текущего изучения объекта и внешних воздействий. Второй путь, по-видимому, имеет более общее значение, но и первый при некоторых априорных свойствах объекта может быть эффективным. Изучение объекта в реальных условиях случайных или неизвестных помех не может быть мгновенным и требует некоторого времени. Далее речь пойдет о втором пути - идентификационного адаптивного управления, основанного на определении - идентификации - объекта.

Широко известным методом идентификации параметров объекта служит ведущий свое начало еще от К.Ф.Гаусса метод наименьших квадратов (МНК), который подходит для этой цели в некотором смысле наилучшим образом. Однако при этом должны выполняться некоторые необходимые и достаточные условия, получившие наименование условий Гаусса-Маркова [2]. Для задач небесной механики и геодезии они обычно выполнялись. Но для систем управления, точнее при применении МНК в процессе управления объектом, они не выполняются и, следовательно, идентификации объекта не происходит.

Чтобы добиться идентифицируемости, предлагалось вводить специальные дополнительные возмущения. Более того, провозглашалась необходимость таких неисчезающих возмущений, несмотря на то, что они неизбежно ухудшали качество адаптивного управления [3]. Эта необходимость представлялась бесспорной, так как другой возможности обеспечить идентифицируемость согласно теореме Гаусса-Маркова не было. Но оказалось, что идентифицируемость и не нужна. Стало ясно, что тех неполных сведений по поводу объекта, которые можно получить с помощью МНК, достаточно для нахождения оптимальной стратегии управления. Выяснилось это следующим образом.

Сначала в порядке обобщения теоремы Гаусса-Маркова была указана та информация, которая все же получается при несостоятельности МНК, т.е. невыполнении условий теоремы Гаусса-Маркова [4, 5]. Затем был найден класс оптимальных стратегий управления, названных локально- оптимальными управлениями (ЛОУ), для определения которых достаточно неполных сведений, даваемых МНК [6-8]. Наконец стало понятно, что класс ЛОУ включает в себя обычно используемые для линейных систем стратегии управления, основанные на квадратичных интегральных критериях качества, поэтому и для них идентифицируемость необязательна [9].

Локально-оптимальные управления, включая адаптивные

Локально-оптимальные управления шире, чем используемые ранее в теории линейных систем оптимальные стратегии управления, для которых имеется красивая разветвленная и законченная теория. Некоторый ее аналог был разработан и для ЛОУ [5, 9]. Поясним смысл ЛОУ, когда цель управления состоит в том, чтобы все переменные состояния объекта x1, x 2, ..., x n равнялись нулю. Геометрически это можно интерпретировать как то, что любая точка x (x 1, ..., x n) должна в процессе управления стремиться к началу координат 0. Чем быстрее она это делает, тем лучше управление. Определим расстояние точки x от начала координат некоторой положительной квадратичной формой

V=a11x12+2a12x1x2 +a22x22+...+ annxn2.

Тогда быстроту приближения точки x к началу координат можно измерять быстротой уменьшения функции V. Управление можно считать локально-оптимальным, если на любом такте управления уменьшение функции V из любой точки x становится максимально возможным.

Динамика адаптивных ЛОУ изучалась в режимах стабилизации и отслеживания заданной траектории при различных предположениях (наличие или отсутствие помех, возможность или невозможность прямых измерений характеристик объекта). Объект предполагался неизвестным, фиксированным или медленно меняющимся. Выяснилось, что для работоспособности адаптивного ЛОУ необходимо и достаточно его устойчивости при полностью настроенном регуляторе. При ненастроенном регуляторе система управления может быть как устойчивой, так и неустойчивой. Наличие адаптации при устойчивости удалось установить теоретически. При неустойчивости пришлось прибегнуть к математическому моделированию, которое показало, что в этом случае быстрее, чем при устойчивости, происходит идентификация оптимального управления [5, 10]. Качественно этот неожиданный экспериментальный результат можно объяснить тем, что при неустойчивости быстрее формируется информационная матрица МНК. Это наблюдается и в эксперименте.

Общая постановка проблемы о мере робастной устойчивости и ее решение

Как отмечалось выше, устойчивость - необходимое требование управления. Для обеспечения устойчивости адаптивного управления нужно, чтобы она сохранялась в достаточном диапазоне изменения объекта и регулятора, т.е. необходима робастная устойчивость.

Изучение проблемы робастной устойчивости началось со знаменитой работы В. Л. Харитонова 1978 г., который обнаружил, что в некоторых случаях об устойчивости бесконечного множества систем можно судить только по некоторым четырем (!) из них. Этот факт буквально потряс специалистов - они поняли, что в давно назревшей и казавшейся неприступной проблеме пробита брешь. Хлынул поток работ, решающих различные задачи робастной устойчивости. Вскоре появилось и достаточно общее решение проблемы [11-13]. Оно исходило из разработанного ранее метода исследования устойчивости, получившего название D- разбиения [14]. На его основе с привлечением известного метода условной оптимизации Лагранжа удалось указать методы отыскания меры робастной устойчивости в следующей общей постановке.

Найти максимальное r=r*, при котором все функции видаc(z)= a1j1(z)+...+an j1(z), (1)

в которых

r = k1 (a1-a1* ) m +...+ kn (an- an* )m r *,

имеют корни только в заданной области G комплексной плоскости. Здесь j1(z), ..., jn(z) - любые заданные функции, a1*,...,an*- номинальные значения параметров системы управления, k1, ..., kn- произвольные положительные числа, m³1.

Решение получается в результате минимизации функции одной переменной, определяемой аналитически при m = 1, 2 и ¥, и в частных случаях при любом m [15]. Случаи m = 2 и m = ¥ отвечают тому, что множество функций (1) образует многомерный эллипсоид и, соответственно, параллелепипед, форма которых определяется параметрами k1, ..., kn. Вид области G и функции (z) определяет разные типы задач устойчивости: устойчивость непрерывных, дискретных и распределенных систем, модальную и апериодическую устойчивость.

Отыскание меры робастной устойчивости r* при нелинейном вхождении меняющихся параметров a1*, ..., an* в общем случае оказалось весьма трудной задачей, но ее удалось проанализировать и указать условия, при которых ее решение упрощается [16].

Отметим еще, что математический аппарат, возникший в процессе исследования ЛОУ, оказался полезным при синтезе робастного управления.

Статья должна завершиться заключением, излагающим перспективы выполненной научной работы. Однако нельзя не заметить, что значимость научного исследования выясняется чаще всего лишь спустя много лет. Только в редких случаях современники и сами авторы правильно ее оценивают. Так что указание перспектив - дело неблагодарное, хотя, может быть, и не лишенное интереса.

Наши исследования относятся к современному этапу развития теории управления, названному этапом расширения возможностей и универсализации, т. е. к адаптивному и робастному управлению. Открытие возможности адаптивного управления при неполной идентификации объекта, по-видимому, уже вошло в научный оборот и должно оказать определенное влияние на дальнейшее развитие теории управления. Авторами эта возможность установлена при идентификации МНК, но, думается, она носит общий характер. Некоторые шансы пополнить копилку теории оценивания имеет обобщение теоремы Гаусса- Маркова.

Выявление роли и изучение локально-оптимальных управлений лишь начались и еще далеки от завершения. Особый интерес представляют не только одношаговые ЛОУ, о которых шла речь, но и многошаговые [18, 19]. Возможно, именно они окажутся эффективными в решении многих задач, где прямолинейная одношаговая стратегия недостаточна. Вовсе не всегда оптимальная стратегия состоит в том, чтобы в некотором примитивном смысле все время приближаться к цели, иногда необходимо и отдалиться, чтобы затем быстрее ее достигнуть.

Решение задачи о мере робастной устойчивости в рамках своей постановки, в противоположность предыдущему, носит законченный характер. Перспективы заключены в самом факте появления общего решения, в его использовании и применении к разнообразным конкретным задачам и синтезу управляющих систем по совокупности критериев, включая и меру робастной устойчивости.

Автор: Ю. И. Неймарк, М. М. Коган

По материалам сайта elibrary.ru

Другие статьи по теме: